2¶

【1】设 $A , B$ 为两可逆矩阵，令 $\begin{array} { r } { { { \boldsymbol { X } } } = \left( \begin{array} { l l } { O } & { A } \\ { B } & { O } \end{array} \right) } \end{array}$ 求 $X ^ { - 1 }$ 。

【2】求解线性方程组

\[ \left( \begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & - 2 & 1 \\ 3 & - 1 & - 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \]

【3】证明： $\mathbb { R } ^ { m \times m }$ 中的对称矩阵按照矩阵的加法与数乘在数域 $\mathbb { R }$ 上构成一个线性空间。(如果矩阵 $A$ 是对称矩阵，则有 $A ^ { T } = A$ 。)

【4】令

\[ \beta = (1, 2, 1, 1) ^ {T}, \alpha_ {1} = (1, 1, 1, 1) ^ {T}, \alpha_ {2} = (1, 1, - 1, - 1) ^ {T}, \alpha_ {3} = (1, - 1, 1, - 1) ^ {T}, \alpha_ {4} = (1, - 1, - 1, 1) ^ {T} \]

，试将向量 $\beta$ 表示成 $\alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 }$ 的线性组合。

【5】

$\begin{array} { r } { \epsilon _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) , \epsilon _ { 2 } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) , \epsilon _ { 3 } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) , \epsilon _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 } \\ { - 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) , a = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 2 } \\ { - 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}$ 试求 $a$ 在基 $\epsilon _ { 1 } , \epsilon _ { 2 } , \epsilon _ { 3 } , \epsilon _ { 4 }$ 下的坐标。

【6】记数域 $\mathbb { R }$ 上的对称矩阵按照矩阵的加法与数乘构成的线性空间为 $V$ 。证明：映射 $\sigma _ { Q } : V \to V , \sigma _ { Q } ( A ) = Q ^ { T } A Q$ 为线性映射。其中 $Q$ 为正交矩阵，即 $Q ^ { T } Q = I$

【7】求矩阵 $A = \left( \begin{array}{r r r} 1 & 1 & - 1 \ 1 & 0 & 1 \ - 1 & 1 & 0 \end{array} \right) $对应二次型的标准型。

【8】判断下列哪些矩阵是正定矩阵。

\[ A _ {1} = \left( \begin{array}{c c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \quad A _ {2} = \left( \begin{array}{c c c c} 5 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array} \right) \quad A _ {3} = \left( \begin{array}{c c} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} \right) \quad A _ {4} = \left( \begin{array}{c c c} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right) \]

【9】求矩阵 $A = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 4 } & { 2 } \\ { 0 } & { - 3 } & { 4 } \\ { 0 } & { 4 } & { 3 } \end{array} \right) }$ 的特征值与对应的特征向量。

【10】已知$A = { \left( \begin{array} { l l l } { 2 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 2 } \end{array} \right) }$ 且 $x = \left( \begin{array} { c } { 1 } \ { k } \ { 1 } \end{array} \right) $ 是矩阵 $A ^ { - 1 }$ 的一个特征向量，求k 。

【11】使用Python将一张图片旋转一定⻆度。提交时需要提交原来的图片和旋转后的图片以及补全的代码。