作业9¶

提交截至时间：2022/12/12 周一 12:00（中午）

习题 1. 设某种电子器件的寿命（以 $h$ 计） $T$ 服从双参数的指数分布，其概率密度为

\[ f (t) = \left\{ \begin{array}{l l} { \frac {1}{\theta} e ^ {- (t - c) / \theta}} & {t \geq c} \\ {0} & {\text {其他}} \end{array} \right. \]

其中 $c , \theta ( c , \theta > 0 )$ 为未知参数．自一批这种器件中随机地取 $n$ 件进行寿命试验．设它们的失效时间依次为 $x _ { 1 } \leqslant x _ { 2 } \leqslant \cdots \leqslant x _ { n }$ 。

(1) 求 $\theta$ 与 $c$ 的最大似然估计值

(2) 求 $\theta$ 与 $c$ 的矩估计量

解. (1) 易知似然函数为

\[ L (\theta , c) = \frac {1}{\theta^ {n}} \exp \left\{\frac {n c - \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}}{\theta} \right\}. \]

所以

\[ \ln L (\theta , c) = - n \ln \theta + \frac {n c - \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}}{\theta}. \]

对 $\theta$ 求偏导，并令导数为 0 , 可得 $\begin{array} { r } { \frac { n } { \theta } + \frac { n c - \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } { \theta ^ { 2 } } = 0 } \end{array}$ . 可得 $\begin{array} { r } { \theta = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } { n } - c . } \end{array}$ . 对该函数求二阶导并将 $\theta$ 代入, 可得

\[ \frac {n}{\theta^ {2}} + \frac {2 n c - 2 \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}}{\theta^ {3}} = - \frac {n}{\theta^ {2}} < 0, \]

这说明求得的 $\theta$ 确实是极大值点。因此, $\theta$ 的最大似然估计值为 $\begin{array} { r } { \theta = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } { n } - c . } \end{array}$

另外，在上式中, 通过简单地观测可以发现 $\ln L ( \theta , c )$ 的数值会随着 $c$ 的增加而增加, 故为使得上式最大, 应当使 $c$ 最大. 故 $c$ 的最大似然估计值为 $c = x _ { ( 1 ) }$ .

(2) 该分布的期望和二阶矩分别为

\[ E (X) = \int_ {c} ^ {+ \infty} \frac {x}{\theta} \exp \left\{- \frac {x - c}{\theta} \right\} d x = \theta + c. \]

\[ E \left(X ^ {2}\right) = \int_ {c} ^ {+ \infty} \frac {x ^ {2}}{\theta} \exp \left\{- \frac {x - c}{\theta} \right\} d x = c ^ {2} + 2 c \theta + 2 \theta^ {2}. \]

该分布的方差 $\operatorname { V a r } ( X ) = E \left( X ^ { 2 } \right) - E ( X ) ^ { 2 } = \theta ^ { 2 }$ . 通过联立方程组，可求得 $\theta$ 的矩估计为 $\theta =$ $ \sqrt{\frac{\sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } )}{n}} $ ， $c$ 的矩估计为 $c = \bar { x } - \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \bar { x } ) } { n } }$ .

习题 2. 设总体 $X$ 的概率密度为

\[ f (x; \theta) = {\left\{ \begin{array}{l l} { {\frac {1}{\theta}} x ^ {(1 - \theta) / \theta}} & {0 < x < 1} \\ {0} & {{\text {其他}}} \end{array} \right.} \quad 0 < \theta < + \infty \]

$X _ { 1 } , X _ { 2 } , \cdots , X _ { n }$ 是来自总体 $X$ 的样本。

(1) 验证 $\theta$ 的最大似然估计量是 $\begin{array} { r } { \hat { \theta } = \frac { - 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ln X _ { i } } \end{array}$

(2) 证明 $\hat { \theta }$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。

解. (1) 易知似然函数为

\[ L (\theta) = \frac {1}{\theta^ {n}} \left(\prod_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}\right) ^ {\frac {1 - \theta}{\theta}}. \]

所以 $\begin{array} { r } { \ln L ( \theta ) = - n \ln \theta + \frac { 1 - \theta } { \theta } \ln \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } \right) } \end{array}$ . 对 $\theta$ 求导，并令导数为 0 , 可得

\[ - \frac {n}{\theta} - \frac {1}{\theta^ {2}} \ln \left(\prod_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}\right) = 0. \]

可得 $\begin{array} { r } { \hat { \theta } = - \frac { 1 } { n } \Sigma _ { i = 1 } ^ { n } \ln X _ { i } } \end{array}$ . 对该函数求二阶导并将 $\hat { \theta }$ 代入, 可得 $\begin{array} { r } { - \frac { n ^ { 3 } } { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ln X _ { i } \right) ^ { 2 } } < 0 } \end{array}$ ，这说明求得的 $\theta$ 确实是极大值点。故原命题得证。

(2) 首先求得

\[ E (\ln x) = \int_ {0} ^ {1} \ln x \frac {1}{\theta} x ^ {\frac {1 - \theta}{\theta}} d x = - \theta . \]

所以 $\begin{array} { r } { E ( \hat { \theta } ) = - \frac { - n \theta } { n } = \theta } \end{array}$ . 故原命题得证。

习题 3. 假设总体 $X \sim \mathit { N } \left( \mu , \sigma ^ { 2 } \right)$ ( $\sigma ^ { 2 }$ 已知 ), $X _ { 1 } , X _ { 2 } , \ldots , X _ { n }$ 为来自总体 $X$ 的样本, 由过去的经验和知识, 我们可以确定 $\mu$ 的取值比较集中在 $\mu _ { 0 }$ 附近, 离 $\mu _ { 0 }$ 越远, $\mu$ 取值的可能性越小, 于是我们假定 $\mu$ 的先验分布为正态分布

\[ \pi (\mu) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi \sigma_ {\mu} ^ {2}}} \exp \left[ - \frac {1}{2 \sigma_ {\mu} ^ {2}} \left(\mu - \mu_ {0}\right) ^ {2} \right] \quad \left(\mu_ {0}, \sigma_ {\mu} \text {已知}\right) \]

求 $\mu$ 的后验概率分布。

解. 样本分布密度为

\[ q (\mathbf {x} \mid \mu) = \frac {1}{\sigma^ {n} (2 \pi) ^ {n / 2}} \exp \left[ - \frac {1}{2 \sigma^ {2}} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(x _ {i} - \mu\right) ^ {2} \right] \]

于是后验密度函数为

\[ \begin{array}{l} h (\mu \mid \mathbf {x}) = \frac {g (\mathbf {x} \mid \mu) \cdot \pi (\mu)}{f _ {\mathbf {x}} (\mathbf {x})} = \frac {q (\mathbf {x} \mid \mu) \cdot \pi (\mu)}{\int_ {- \infty} ^ {+ \infty} q (\mathbf {x} \mid \mu) \cdot \pi (\mu) d \mu} \\ \propto \exp \left[ - \frac {1}{2 \sigma^ {2}} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(x _ {i} - \mu\right) ^ {2} \right] \cdot \exp \left[ - \frac {1}{2 \sigma_ {\mu} ^ {2}} \left(\mu - \mu_ {0}\right) ^ {2} \right] \\ \end{array} \]

化简得

\[ h (\mu \mid \mathbf {x}) \propto \exp \left[ - \frac {(\mu - t) ^ {2}}{2 \eta^ {2}} \right] \]

其中 $\begin{array} { r } { t = \frac { \frac { n } { \sigma ^ { 2 } } \bar { x } + \frac { 1 } { \sigma _ { \mu } ^ { 2 } } \mu _ { 0 } } { \frac { n } { \sigma ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \sigma _ { \mu } ^ { 2 } } } } \end{array}$ ， $\begin{array} { r } { \eta ^ { 2 } = \frac { 1 } { \frac { n } { \sigma ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \sigma _ { \mu } ^ { 2 } } } } \end{array}$ , 于是

\[ \mu \mid \mathbf {x} \sim N \left(\frac {\frac {n}{\sigma^ {2}} \bar {x} + \frac {1}{\sigma_ {\mu} ^ {2}} \mu_ {0}}{\frac {n}{\sigma^ {2}} + \frac {1}{\sigma_ {\mu} ^ {2}}}, \frac {1}{\frac {n}{\sigma^ {2}} + \frac {1}{\sigma_ {\mu} ^ {2}}}\right). \]

习题 4. 假设总体 $X \sim P ( \lambda ) , X _ { 1 } , X _ { 2 } , . . . , X _ { n }$ 为来自总体 $X$ 的样本, 假定 $\lambda$ 的先验分布为伽玛分布 $\Gamma ( \alpha , \beta )$ , 求 $\lambda$ 的后验期望估计（平方损失下的贝叶斯估计）。

解. 因为 $\lambda$ 的先验密度函数 $\pi ( \lambda )$ 为伽玛分布 $\Gamma ( \alpha , \beta )$ , 即

\[ \pi (\lambda) \propto \lambda^ {\alpha - 1} e ^ {- \beta \lambda} \]

分布密度函数为:

\[ q (\mathbf {x} \mid \lambda) = \frac {\lambda^ {\sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}}}{x _ {1} ! x _ {2} ! \dots , x _ {n} !} e ^ {- n \lambda} \propto \lambda^ {\sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}} e ^ {- n \lambda} \]

所以

\[ h (\lambda \mid \mathbf {x}) \propto \lambda^ {\alpha + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} - 1} e ^ {- (\beta + n) \lambda} \]

即

\[ \lambda \mid \mathbf {x} \sim \Gamma \left(\alpha + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}, \beta + n\right) \]

故 $\lambda$ 的后验期望估计为

\[ \hat {\lambda} = \frac {\alpha + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}}{\beta + n} = \frac {n}{\beta + n} \bar {x} + \frac {\beta}{\beta + n} \frac {\alpha}{\beta} \]

它是样本均值 $\bar { x }$ 和先验分布 $\Gamma ( \alpha , \beta )$ 的均值 $\frac { \alpha } { \beta }$ 的加权平均。