作业17

提交截至时间：暂定 2022/05/13 周五 20:00（晚上）

理论部分

习题 1. 下表为二维离散随机变量 \(( X , Y )\) 的联合分布列，其中最后一列为随机变量 \(Y\) 的边缘分布列，最后一行为随机变量 \(X\) 的边缘分布列，且 \(X , Y\) 独立。试将下表补充完整，并给出\(X , Y\) 的协方差 \(C o v ( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { Y } )\) 。

	X = 1	X = 2	X = 3	P_Y(Y)
Y = 1	0.03	0.15	0.12	0.3
Y = 2	0.03	0.15	0.12	0.3
Y = 3	0.02	0.1	0.08	0.2
Y = 4	0.02	0.1	0.08	0.2
P_X(X)	0.1	0.5	0.4	/

解. 因为 \(X , Y\) 独立，所以 \(C o v ( X , Y ) = 0\)

习题 2. 某传染疾病 \(D\) 的医学抗原检验结果可能为 + 和 - ,它们的概率如下:

	D	Dc
+	0.009	0.099
-	0.001	0.891

假定去作检查的结果是阳性,患这种传染病的概率会是多大呢?

解. 由条件概率的定义可得

\[ \mathbb {P} (+ \mid D) = \frac {\mathbb {P} (+ \bigcap D)}{\mathbb {P} (D)} = \frac {0 . 0 0 9}{0 . 0 0 9 + 0 . 0 0 1} = 0. 9 \]

\[ \mathbb {P} (- \mid D ^ {\mathrm {c}}) = \frac {\mathbb {P} (- \bigcap D ^ {\mathrm {c}})}{\mathbb {P} (D ^ {\mathrm {c}})} = \frac {0 . 8 9 1}{0 . 8 9 1 + 0 . 0 9 9} = 0. 9. \]

显然, 该检验是相当精确的, 对患者的检验结果有 \(9 0 \%\) 呈阳性, 而对健康者检验结果有 \(9 0 \%\) 呈阴性. 因此

\[ \mathbb {P} (D \mid +) = \frac {\mathbb {P} (+ \bigcap D)}{\mathbb {P} (+)} = \frac {0 . 0 0 9}{0 . 0 0 9 + 0 . 0 9 9} \approx 0. 0 8 \]

习题 3. 随机地取 8 只活塞环，测得他们的直径为 (以 mm 计)

\[ 7 4. 0 0 1 , 7 4. 0 0 5 ,7 4. 0 0 3, 7 4. 0 0 1 \]

\[ 7 4. 0 0 0, 7 3. 9 9 8, 7 4. 0 0 6, 7 4. 0 0 2 \]

试求总体均值 \(\mu\) 以及方差 \(\sigma ^ { 2 }\) 的矩估计值。

解. 样本均值 \(\bar { x } = 7 4 . 0 0 2\)

样本方差 \(\begin{array} { r } { S _ { x } = \frac { 1 } { 7 } ( \frac { 1 } { 1 0 0 0 ^ { 2 } } 4 8 ) = 6 . 8 6 \times 1 0 ^ { - 6 } } \end{array}\)

根据矩估计 \(\mu = 7 4 . 0 0 2 , \sigma ^ { 2 } = 6 . 8 6 \times 1 0 ^ { - 6 }\)