作业5
提交截至时间：2022/11/07 周一 12:00（中午）
习题 1. 前面已经介绍过矩阵的 \(L U\) 分解，于是我们可以对线性方程组的系数矩阵线进行 \(L U\) 分解，再解方程组。例如下二元一次方程组
$$
\left{ \begin{array}{l} 2 x _ {1} + 4 x _ {2} = 5 \ 4 x _ {1} + 5 x _ {2} = 3 \end{array} \right.
$$
可以通过 \(L U\) 分解求解。如果我们对 \(A =\left( \begin{array}{c c} 2 & 4 \\ 4 & 5 \end{array} \right)\) 使用 \(L U\) 分解，则可得到
\[
\left( \begin{array}{c c} 2 & 4 \\ 4 & 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} 2 & 4 \\ 0 & - 3 \end{array} \right)
\]
利用该结果表示线性方程组的解。
解.
\[
A = L U
\]
\[
A x = b
\]
\[
L U x = b
\]
\[
x = U ^ {- 1} L ^ {- 1} b = \left( \begin{array}{c c} 2 & 4 \\ 0 & - 3 \end{array} \right) ^ {- 1} \left( \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right) ^ {- 1} \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -13/6 \\ 7/3 \end{array} \right)
\]
习题 2. 写出一种 \(L U\) 分解不能分解的矩阵 \(A\) ，并分析该矩阵在线性方程组 \(A x = b\) 中时方程解集不可能出现的情况。
解.
定理 0.0.1.
矩阵 \(A \in \mathbb { R } ^ { n \times n }\) 能够进行 \(L U\) 分解的充分必要条件是 \(A\) 的前 \(n\) 阶顺序主子式不为 \(0\) 。
\(A\) 能进行 \(L U\) 分解需满足 \(A\) 的前 \(n\) 阶顺序主子式不为 \(0\) ，即 \(A\) 可逆。
一个不能进行 \(L U\) 分解的矩阵如
\[
\mathbf {A} = \left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right]
\]
如果我们对其使用 \(L U\) 分解，能得到
\[
\left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ \ell_ {2 1} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} u _ {1 1} & u _ {1 2} \\ 0 & u _ {2 2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} u _ {1 1} & u _ {1 2} \\ \ell_ {2 1} u _ {1 1} & \ell_ {2 1} u _ {1 2} + u _ {2 2} \end{array} \right]
\]
求解该方程我们需要同时满足
\[
u _ {1 1} = 0
\]
\[
\ell_ {2 1} u _ {1 1} = 2
\]
该方程无解，所以 \(A\) 无法进行 \(L U\) 分解。实际上，A 的一阶顺序主子式为 0。（当然，对于存在顺序主子式为 \(0\) 的矩阵 \(A\) ，也可以进行LUP 分解，其不在该题讨论范围内）。
习题 3. 利用 QR 分解求解下述线性方程组的解（最终结果可只需写出具体矩阵与向量的乘积形式即可）：
\[
\left[ \begin{array}{c c c} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]
\]
解.
\[
A = \left[ \begin{array}{c c c} {\frac {1}{\sqrt {6}}} & {\frac {1}{\sqrt {3}}} & {\frac {1}{\sqrt {2}}} \\ {\frac {2}{\sqrt {6}}} & {- \frac {1}{\sqrt {3}}} & 0 \\ {\frac {1}{\sqrt {6}}} & {\frac {1}{\sqrt {3}}} & {- \frac {1}{\sqrt {2}}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c} {\sqrt {6}} & {\sqrt {6}} & {\frac {7}{\sqrt {6}}} \\ {0} & {\sqrt {3}} & {\frac {1}{\sqrt {3}}} \\ {0} & 0 & {\sqrt {2}} \end{array} \right] = Q R
\]
因此，
\[
\boldsymbol {x} = \left[ \begin{array}{c c c} \sqrt {6} & \sqrt {6} & \frac {7}{\sqrt {6}} \\ 0 & \sqrt {3} & \frac {1}{\sqrt {3}} \\ 0 & 0 & \sqrt {2} \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c c c} \frac {1}{\sqrt {6}} & \frac {1}{\sqrt {3}} & \frac {1}{\sqrt {2}} \\ \frac {2}{\sqrt {6}} & - \frac {1}{\sqrt {3}} & 0 \\ \frac {1}{\sqrt {6}} & \frac {1}{\sqrt {3}} & - \frac {1}{\sqrt {2}} \end{array} \right] ^ {\top} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]
\]