作业3¶
提交截至时间：2022/03/11 下周五 20:00（晚上）
理论部分¶
习题 1. 设一个线性映射 \(f : R ^ { n } \to R ^ { m }\) , 如何计算 (唯一) 矩阵 \(\pmb { A }\) ，对每一个 \(x \in R ^ { n }\) 都使\(f ( x ) = A x\) 成立，可以自己确定 \(f\) 在适当向量处的值表示。
解. 设 \(\{ e _ { 1 } , \cdots , e _ { n } \}\) 为 \(\mathbb { R } ^ { n }\) 的标准正交基，则它们在线性映射下的像可分别记为 \(f ( e _ { 1 } ) , \cdots , f ( e _ { n } )\) 。对每一个 \(x \in \mathbb { R } ^ { n }\) ，有
\[
x = x _ {1} e _ {1} + \dots + x _ {n} e _ {n}.
\]
因此
\[
f (x) = x _ {1} f \left(e _ {1}\right) + \dots + x _ {n} f \left(e _ {n}\right).
\]
该式子可改写为
\[
f (x) = \left(f (e _ {1}) f (e _ {2}) \dots f (e _ {n})\right) \left( \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ \dots \\ x _ {n} \end{array} \right).
\]
因此，只需令 \(A = \left( f ( e _ { 1 } ) f ( e _ { 2 } ) \cdot \cdot \cdot f ( e _ { n } ) \right)\) 即可。
习题 2. 已知线性映射
\[
\Phi : \mathbb {R} ^ {3} \to \mathbb {R} ^ {4}
\]
\[
\Phi \left(\left[ \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \end{array} \right]\right) = \left[ \begin{array}{c} 3 x _ {1} + 2 x _ {2} + x _ {3} \\ x _ {1} + x _ {2} + x _ {3} \\ x _ {1} - 3 x _ {2} \\ 2 x _ {1} + 3 x _ {2} + x _ {3} \end{array} \right]
\]
(1) 计算 \(A _ { \Phi }\)
(2) 计算 rank \(\left( A _ { \Phi } \right)\)
解. (1)
\[
\left( \begin{array}{l l l} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 3 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right)
\]
(2)3
实操部分¶
习题 3. 编写 Python 代码将你自选的一张图片旋转一定角度。该题的答案需包含三部分：
(1) 代码;
(2) 原来的图片；
(3) 旋转后的图片.