数据科学与工程数学基础 作业3

【1】分别求下面向量的1-范数、2-范数和无穷范数

\[ a _ {1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right), a _ {2} = \left( \begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right), a _ {3} = \left( \begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \]

【2】证明函数 \(F : \mathbb { R } ^ { n } \to \mathbb { R } , F ( x ) = { \sqrt { \langle x , x \rangle } }\) 是向量范数

【3】对任给的 \(x = ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ^ { T } \in \mathbb { C } ^ { 3 }\) ，试问如下实值函数是否构成向量范数？

\[ f _ {1} (x) = | x _ {1} | ^ {4} + | x _ {2} | ^ {4} + | x _ {3} | ^ {4} \]

\[ f _ {2} (x) = | x _ {1} | + 3 | x _ {2} | + 2 | x _ {3} | \]

【4】证明如下定义的函数 \(\langle \cdot , \cdot \rangle : \mathbb { R } ^ { 2 } \times \mathbb { R } ^ { 2 } \to \mathbb { R }\) 是内积：

\[ \langle x, y \rangle := x _ {1} y _ {1} - \left(x _ {1} y _ {2} + x _ {2} y _ {1}\right) + 2 x _ {2} y _ {2} \]

【5】分别求下面矩阵1-范数、2-范数和无穷范数

\[ A _ {1} = \left( \begin{array}{c c} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right), A _ {2} = \left( \begin{array}{c c} - 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \]

【6】求矩阵 \(\left( { \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 2 } & { 4 } & { 1 } \\ { 4 } & { 2 } & { 1 } \end{array} } \right)\) 的行空间、列空间、零空间和左零空间。

【7】求由向量 $ \left( \begin{array}{c} 1 \ 2 \ 1 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{c} 0 \ 1 \ 2 \end{array} \right)$ 张成的子空间的正交补空间。

【8】写出一个与子空间 \(\left\{ ( 1 , 2 , 1 ) ^ { T } \right\}\) 正交的子空间。

【9】求向量 \(( 1 , 1 , 1 ) ^ { T }\) 投影到一维子空间 $\operatorname { s p a n } \left{ ( 1 , - 1 , 1 ) ^ { T } \right} $ 的正交投影。

【10】求向量 \(( 1 , 1 , 1 ) ^ { T }\) 投影到仿射空间 \(\operatorname { s p a n } \left\{ ( 1 , - 1 , 1 ) ^ { T } , ( 1 , 1 , 0 ) ^ { T } \right\} + ( 1 , 2 , 1 ) ^ { T }\) 的正交投影。

【11】设

\[ a _ {1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array} \right), a _ {2} = \left( \begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right), a _ {3} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \end{array} \right) \]

试将向量组 \(( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } )\) 标准正交化。

【12】复现Lec6例13的结果。其中负例为 \(( 1.5 , 2 ),( 1.7 , 1.5 ),( 2 , 2 ),( 1.5 , 2.5 )\) ，正例为 \(( 1 , 2 ) , ( 0 . 3 , 0 . 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 1 , 1 )\) ，分别采用了欧式距离和曼哈顿距离两种距离度量方式。