作业9
提交截至时间：暂定 2022/04/01 下周五 20:00（晚上）
理论部分 (矩阵分解)
习题 1. 对矩阵 \(\left( { \begin{array} { c c c c } { 5 } & { 3 } & { - 1 } & { 3 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { - 2 } \\ { - 5 } & { - 3 } & { 4 } & { - 4 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} } \right)\) 进行 \(L U\) 分解。
解. （具体计算过程可参考教材或课件中的例题。）
\[
\boldsymbol {A} = \left( \begin{array}{c c c c} 5 & 3 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ - 5 & - 3 & 4 & - 4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c c c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c c c} 5 & 3 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right) = \boldsymbol {L U}
\]
习题 \(2 .\) 利用 \(L U\) 分解来求解方程
\[
\left( \begin{array}{c c c c} 5 & 3 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ - 5 & - 3 & 4 & - 4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\]
解. 令 \(\pmb { b } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 2 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right)\) ，则先求解
\[
L y = b
\]
得到 $\begin{array} { r } { \pmb { y } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \ { 2 } \ { 0 } \ { - 1 } \end{array} \right) } \end{array} $ ，再求解
\[
\boldsymbol {U} \boldsymbol {x} = \boldsymbol {y}
\]
得到 \(\begin{array} { r } { \pmb { x } = \left( \begin{array} { l } { - 1 3 / 3 0 } \\ { 7 / 6 } \\ { - 1 / 6 } \\ { - 1 / 2 } \end{array} \right) . } \end{array}\)
习题 3. 证明上三角矩阵与上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。
解. 假设 \(A , B\) 为上三角矩阵，且其乘积为 \(C\) 。下证 \(C\) 为上三角矩阵，只需证 \(C _ { i j } , ( i > j )\) 时为 \(0\) 。易知，
\[
C _ {i j} = \sum_ {k = 1} ^ {n} A _ {i k} B _ {k j} = \sum_ {k = 1} ^ {j} A _ {i k} B _ {k j} + \sum_ {k = j + 1} ^ {n} A _ {i k} B _ {k j}
\]
因为 \(A , B\) 为上三角矩阵，所以右边第一项为中 \(A _ { i k } = 0\) ，右边第二项中 \(B _ { k j } = 0\) 。故得证。
习题 4. 用 Householder 方法求矩阵 \(A = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 2 } & { 0 } \\ { 2 } & { 1 } \end{array} \right] }\) 的 \(\mathcal { Q } R\) 分解。
解. 令 \(\alpha _ { 1 } = ( 1 , 2 , 2 ) ^ { T }\) ， \(a _ { 1 } = \| \alpha _ { 1 } \| _ { 2 } = 3\) ，则
\[
w _ {1} = \frac {\alpha_ {1} - a _ {1} \boldsymbol {e} _ {1}}{\| \alpha_ {1} - a _ {1} \boldsymbol {e} _ {1} \| _ {2}} = \frac {1}{2 \sqrt {3}} (- 2, 2, 2) ^ {T}
\]
故有
\[
H _ {1} = I - 2 w _ {1} w _ {1} ^ {T} = \left[ \begin{array}{l l l} 1 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 \\ 2 / 3 & 1 / 3 & - 2 / 3 \\ 2 / 3 & - 2 / 3 & 1 / 3 \end{array} \right]
\]
此时，
\[
H _ {1} A = \left[ \begin{array}{l l} 3 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]
\]
再令 \(\beta _ { 1 } = ( 0 , 1 ) ^ { T } , \ b _ { 1 } = \| \beta _ { 1 } \| _ { 2 } = 1\) ，则
\[
w _ {2} = \frac {\beta_ {1} - b _ {1} \boldsymbol {e} _ {1}}{\| \beta_ {1} - b _ {1} \boldsymbol {e} _ {1} \| _ {2}} = \frac {1}{\sqrt {2}} (- 1, 1) ^ {T}
\]
故有
\[
\hat {H} _ {2} = I - 2 w _ {2} w _ {2} ^ {T} = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]
\]
记
\[
H _ {2} = I - \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right]
\]
此时
\[
H _ {2} H _ {1} A = \left[ \begin{array}{c c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \triangleq R
\]
因此， \(A = Q R\) ，其中 \(Q = H _ { 1 } ^ { T } H _ { 2 } ^ { T }\) 。