作业15

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理论部分

习题 1. 已知积分算子 \(T : C [ a , b ] \to C [ a , b ]\) 定义为 \(\forall x ( t ) \in C [ a , b ]\) ,

\[ T x = \int_ {a} ^ {t} x (\tau) d \tau , t \in [ a, b ] \]

假设 \(C [ a , b ]\) 上的范数定义为 \(\| x ( t ) \| = m a x _ { [ a , b ] } | x ( t ) |\) ，请证明积分算子是线性有界算子。

解. 证明设 \(x ( t ) , y ( t ) \in C [ a , b ] . \alpha , \beta \in \mathbb { R }\) ，则

\[ \begin{array}{l} T (\alpha x + \beta y) = \int_ {a} ^ {t} (\alpha x (\tau) + \beta y (\tau)) d \tau = \alpha \int_ {a} ^ {t} x (\tau) d \tau + \beta \int_ {a} ^ {t} y (\tau) d \tau = \alpha T x + \beta T y \\ \| T x \| = \max _ {t \in [ a, b ]} \left| \int_ {a} ^ {t} x (\tau) d \tau \right| \leq \max _ {t \in [ a, b ]} \int_ {a} ^ {t} | x (\tau) | d \tau \leq \max _ {t \in [ a, b ]} | x (t) | \\ \int_ {a} ^ {t} 1 d \tau = \| x (t) \| (b - a) \\ \end{array} \]

于是积分算子 \(T\) 为线性有界算子。

习题2. 对于线性不可分支持向量机，通常需要将原数据映射到新的空间，以使得在新的空间中线性可分。设原空间为 \(\mathbb { X } \subset \mathbb { R } ^ { 2 } , x = ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ^ { T } \in \mathbb { X }\) ，并假定训练数据（二分类数据）可由曲线 \(2 x _ { 1 } ^ { 2 } - 5 x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } - 7 = 0\) 区分。请设计新的空间，并定义从原空间到新空间的变换（映射），使得在新的空间满足线性可分。

解. 只需令 \(\phi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = ( x _ { 1 } ^ { 2 } , x _ { 1 } x _ { 2 } , x _ { 2 } ^ { 2 } ) \triangleq ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } )\) 即可。