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【1】求随机变量 \(X \sim b ( n , p )\) 的期望与方差。

【2】设连续性随机变量 \(X\) 的分布函数为

\[ F _ {X} (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & \quad x < 1 \\ \ln x, & \quad 1 \leq x < e \\ 1, & \quad x \geq e \end{array} \right. \]

求 \(P ( X < 2 ) , P ( 0 < X < 3 )\)
求概率密度函数

【3】下表为二维离散随机变量 \(( X , Y )\) 的联合分布列，其中最后一列为随机变量 \(Y\) 的边缘分布列，最后一行为随机变量 \(X\) 的边缘分布列，且 \(X , Y\) 独立。试将下表补充完整，并给出 \(X , Y\) 的协方差Cov(X,Y)

	X=1	X=2	X=3	PY(Y)
Y=1	0.03	0.15	0.12	0.3
Y=2	0.03	0.15	0.12	0.3
Y=3	0.02	0.1	0.08	0.2
Y=4	0.02	0.1	0.08	0.2
PX(X)	0.1	0.5	0.4	/

【4】已知所有的胰腺癌患者都有某症状，若一个人有该症状的概率为万分之一，并且胰腺癌的发病概率也为万分之一。问若一个人有该症状，则他也是胰腺癌患者的概率为多少。

【5】一个不透明的箱子中有一些红球和白球，有放回地在箱子中随机摸出5个球，分别为红、白、白、白、红，试估计箱子中红球与白球的比例。

【6】随机地取8只活塞环，测得他们的直径为(以mm计)

74.001，74.005，74.003，74.001

74.000，73.998，74.006，74.002

试求总体均值 \(\mu\) 和方差 \(\sigma ^ { 2 }\) 的矩估计值。

【7】给定 \(N\) 个独立同分布样本 \(x _ { t }\) ，服从多元正态分布

\[ G (x _ {t}) = \frac {1}{(2 \pi) ^ {\frac {d}{2}} | \Sigma | ^ {\frac {1}{2}}} \exp \left\{- \frac {1}{2} (x _ {t} - \mu) ^ {T} \Sigma^ {- 1} (x _ {t} - \mu) \right\} \]

其中 \(\Sigma\) 是可逆对称矩阵， \(x _ { t } , \mu \in \mathbb { R } ^ { d }\) 。利用极大似然估计(MLE)估计参数 \(\Sigma,\mu\)。

【8】证明：在多分类问题中，利用交叉熵函数作为损失函数和用KL散度作为损失函数是等价的。

【9】同时抛2颗骰子，事件 \(A , B , C\) 分别表示为

A: 仅有一个骰子是3

B: 至少一个骰子是4

C: 骰子上点数总和为偶数

试计算事件 \(A , B , C\) 发生后所提供的信息量