作业1

请回答以下问题：

【1】考虑一个因子有4种不同的水平，在各个水平下，我们进行了6次重复实验。已计算 \(SS_T=10,SS_E=2.5\)，请写出完整的ANOVA表。

【2】假设我们有两组独立的数据

第一组：\(x_1,x_2,\cdots,x_m\)

第二组：\(y_1,y_2,\cdots,y_m\)

假定\(x_i \overset{\mathrm{i.i.d}}{\sim} N(\mu_1,\sigma^2)\)且\(y_i \overset{\mathrm{i.i.d}}{\sim} N(\mu_2,\sigma^2)\)。其中，\(\sigma^2\)是未知常数。检验问题为

\(H_0:\mu_1=\mu_2 \quad \text{vs} \quad H_0:\mu_1\ne\mu_2.\)

• 用单因子方差分析模型来解决这个假设检验问题；
• 证明：在这种情况下，单因子方差分析模型与二样本独立\(t\)检验是等价的。（提示：考虑两个检验统计量分布之间的关系）

【3】假设我们有数据如下

第1组：\(y_{11},y_{12},\cdots,y_{1m_1}\)

第2组：\(y_{21},y_{22},\cdots,y_{2m_2}\)

\(\vdots\)

第\(a\)组：\(y_{a1},y_{a2},\cdots,y_{am_a}\)

注：这组数据中每组的重复次数是不相等的。

• 写出符合此数据的单因子方差分析模型；
• 写出原假设与备择假设；
• 写出检验统计量；
• 写出方差分析表。

【4】有七种人造纤维，每种抽4根测其强度，得每种纤维的平均强度及标准差如下： 组号 均值 标准差 1 6.3 0.81 2 6.2 0.92 3 6.7 1.22 4 6.8 0.74 5 6.5 0.88 6 7.0 0.58 7 7.1 1.05

假设各种纤维的强度服从等方差的正态分布。

• 试问七种纤维强度间有无显著差异（取\(\alpha=0.05\)）？
• 根据第一小问的结果，回答：
• 若各个纤维之间的强度间无显著差异，则给出平均强度的置信水平为0.95的置信区间。
• 若各种纤维的强度间有显著差异，请进一步在\(\alpha=0.05\)下进行多重比较，并指出哪种纤维平均强度最大，同时给出该种纤维平均强度的置信水平为0.95的置信区间。