2024级卷纸（A）¶

2025—2026学年第一学期¶

考试科目：数据科学与工程数学基础　　任课教师：树扬

姓　名：_　　学　号：_

专　业：_　　班　级：_

题目	一（选择题）	二	三	四	五	六	七	总分	阅卷人签名
得分

题 1 (22分) 选择题 单选题一道 4 分，多选题一道 6 分，总计 22 分。单选题不选、错选均不得分；多选题不选、错选不得分，少选得 3 分。

(1) 设矩阵 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{4 \times 5}$，秩 $\text{rank}(\mathbf{A}) = 3$。结合四个基本子空间、正交关系及投影的核心概念，下列说法正确的是 ( )

A. 行空间 $\text{Row}(\mathbf{A}) \subseteq \mathbb{R}^4$，其正交补为零空间 $\text{Null}(\mathbf{A})$，且 $\dim(\text{Row}(\mathbf{A})) + \dim(\text{Null}(\mathbf{A})) = 4$，同时 $\text{Row}(\mathbf{A}) \oplus \text{Null}(\mathbf{A}) = \mathbb{R}^4$

B. 列空间 $\text{Col}(\mathbf{A})$ 与左零空间 $\text{Null}(\mathbf{A}^T)$ 正交，$\text{Col}(\mathbf{A}) \oplus \text{Null}(\mathbf{A}^T) = \mathbb{R}^5$，且 $\dim(\text{Null}(\mathbf{A}^T)) = 5 - 3 = 2$

C. 向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^4$ 在 $\text{Col}(\mathbf{A})$ 上的正交投影为 $\pi_U(\mathbf{x})$，则 $\mathbf{x} - \pi_U(\mathbf{x})$ 与 $\text{Col}(\mathbf{A})$ 中所有向量正交

D. 对 $\mathbf{A}$ 进行初等列变换后得到矩阵 $\mathbf{B}$，则 $\text{Row}(\mathbf{A}) = \text{Row}(\mathbf{B})$，且 $\text{Col}(\mathbf{A}) = \text{Col}(\mathbf{B})$

(2) 【多选】下列关于向量范数、矩阵范数的说法错误的是 ( )

A. 设 $\mathbf{u}$ 为 $n$ 维单位列向量（即 $\|\mathbf{u}\|_2 = 1$），$\mathbf{I}_n$ 为 $n$ 维单位矩阵，$\mathbf{A} = \mathbf{I}_n - 2\mathbf{u}\mathbf{u}^T$。若 $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{y}$ (其中 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$)，则 $\|\mathbf{x}\|_2 = \|\mathbf{y}\|_2$

B. 若 $\|\mathbf{x}\| = \sum_{i=1}^n x_i^2$，则 $\|\mathbf{x}\|$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的范数

C. 若 $\|\mathbf{x}\|_p$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的 $l_p$ 范数，则对任意非零常数 $k$，有 $\|k\mathbf{x}\|_p = k \cdot \|\mathbf{x}\|_p$

D. 对任意非零向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$)，恒有 $\|\mathbf{x}\|_1 \ge \|\mathbf{x}\|_\infty$

(3) 设向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $B_1 = \left\{ \mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$ 下的坐标为 $(2, 1)^T$，则 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $B_2 = \left\{ \mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ 下的坐标是 ( )

A. $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)^T$ B. $(-1, 3)^T$ C. $(2, 3)^T$ D. $(3, 1)^T$

(4) 下列关于矩阵分解的说法中，正确的是 ( )

A. 任意 $n$ 阶实矩阵 $\mathbf{A}$ 都可进行形如 $\mathbf{A} = \mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^T$ 的谱分解，且分解式中 $\mathbf{Q}$ 为正交矩阵，对角矩阵 $\mathbf{\Lambda}$ 的对角元为矩阵的特征值

B. 设 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ($m \ge n$) 为列满秩矩阵，则 $\mathbf{A}$ 的 QR 分解 $\mathbf{A} = \mathbf{Q} \begin{pmatrix} \mathbf{R} \\ \mathbf{0} \end{pmatrix}$ （其中 $\mathbf{Q}$ 为 $m$ 阶正交矩阵，$\mathbf{R}$ 为 $n$ 阶上三角矩阵且对角元为正）一定唯一

C.和D.不全

(5) 关于凸集，以下说法正确的是 ( )

A. 两个凸集的并集一定是凸集

B. 线段一定是仿射集

C. 闭球 $\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| \le r \}$ (其中 $\|\cdot\|$ 是范数，$r > 0$) 是凸集

D. 设 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}, \mathbf{C} \in \mathbb{R}^{p \times n}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^m, \mathbf{d} \in \mathbb{R}^p$。则多面体 $\{ \mathbf{x} \mid \mathbf{A}\mathbf{x} \le \mathbf{b}, \mathbf{C}\mathbf{x} = \mathbf{d} \}$ 仅在矩阵 $\mathbf{A}$ 行满秩时是凸集

题 2 (13分) 设矩阵 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$，向量 $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3$。

(1) (4分) 计算矩阵 $\mathbf{A}$ 的 2-范数 (谱范数) $\|\mathbf{A}\|_2$；

(2) (5分) 求向量 $\mathbf{b}$ 在列空间 $\text{Col}(\mathbf{A})$ 上的正交投影向量 $\hat{\mathbf{b}}$，并计算 $\|\hat{\mathbf{b}}\|_2$；

(3) (4分) 已知 $\mathbf{c}$ 是 $\text{Col}(\mathbf{A})$ 中的任意向量，证明：$\|\mathbf{b} - \hat{\mathbf{b}}\|_2 \le \|\mathbf{b} - \mathbf{c}\|_2$ 成立，并且当且仅当 $\mathbf{c} = \hat{\mathbf{b}}$ 时取等号。

题 3 (18分) $$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \ 1 \ 3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 8 \end{bmatrix} $$

(1) (2分) 矩阵 $\mathbf{A}$ 能否进行 QR 分解，为什么？直接写出结论及原因即可；

(2) (6分) 求矩阵 $\mathbf{A}$ 的 QR 分解；

(3) (5分) 利用 (2) 中的分解结果来求解方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$；

(4) (5分) 求最小二乘问题 $\min \|\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{c}\|_2$ 的全部解。

题 4 (10分) 设矩阵 $$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 2} $$

(1) (6分) 求矩阵 $\mathbf{A}$ 的奇异值分解 $\mathbf{A} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^T$； (2) (4分) 求 $\mathbf{A}$ 的 Moore-Penrose 伪逆 $\mathbf{A}^{\dagger}$。

【参考材料】 已知 $\mathbf{A}^T\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$，其特征值 $\lambda_1 = 9, \lambda_2 = 1$ 对应的特征向量分别为： $$ \mathbf{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} $$

题 5 (8分) 设 $\mathbf{A}$ 是一个 $m \times n$ 实矩阵，$\text{rank}(\mathbf{A}) = r$，且 $\mathbf{A}$ 的紧奇异值分解为 $\mathbf{A} = \mathbf{U}_r\mathbf{\Sigma}_r\mathbf{V}_r^T$。证明：

(1) (3分) 任意向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ 在 $\text{Col}(\mathbf{A}^T)$ 上的正交投影为 $\pi_{\text{Col}(\mathbf{A}^T)}(\mathbf{x}) = \mathbf{V}_r\mathbf{V}_r^T\mathbf{x}$；

(2) (5分) $\mathbf{V}_r\mathbf{V}_r^T = \mathbf{A}^T\mathbf{A}$。

题 6 (18分)

(1) (4分) 已知向量值函数 $\mathbf{f}(\mathbf{x}): \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ (其中 $\mathbf{x} = [x_1, x_2, x_3]^T$)，表达式为： $$ \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} f_1(\mathbf{x}) \ f_2(\mathbf{x}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x_1x_2 + x_1^2x_3 + 2x_3^2 \ x_2\sin(x_1) + x_1^3x_3 - x_2^2 \end{bmatrix} $$ 求 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 的 Jacobian 矩阵 $\mathbf{J} = \frac{\partial \mathbf{f}(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}^T}$；

(2)

(a) (3分) 证明 $d|\mathbf{X}| = \text{Tr}(|\mathbf{X}|\mathbf{X}^{-1}d\mathbf{X})$，其中变量 $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 非奇异；

(b) (5分) 用 (a) 的结论求实值函数 $f(\mathbf{X}) = |\mathbf{X}^3|$ (其中 $|\cdot|$ 表示行列式) 的梯度矩阵。

(3) (6分) 考虑一个两层的全连接神经网络： $$ \mathbf{y} = \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \text{ReLU}(\mathbf{A}_2(\text{ReLU}(\mathbf{A}_1\mathbf{x} + \mathbf{b}_1)) + \mathbf{b}_2) $$ 其中 $$ \mathbf{A}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ -2 & 1 \ 3 & -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{A}_2 = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \ 1 & -2 & 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} -1 \ 4 \ -2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix} $$ 假设输入为 $\mathbf{x} = (1, -1)^T$，并且对应的真实输出为 $\mathbf{\hat{y}} = (0, 1)^T$。采用平方损失 $L = \frac{1}{2}\|\mathbf{y} - \mathbf{\hat{y}}\|_2^2$。试计算函数 $L$ 关于 $\mathbf{b}_1$ 的梯度。

题 7 (11分) 考虑优化问题 $\min f(\mathbf{x}) = x_1^2 + 4x_2^2 + 2x_1x_2 + 4x_1 + 8x_2$。

(1) (4分) 判断 $f(\mathbf{x})$ 是否为凸函数，并说明理由；

(2) (4分) 利用最优性条件求局部极小值点；

(3) (3分) 证明：若 $\mathbf{x}^*$ 是 $f(\mathbf{x})$ 的局部极小点，则 $\mathbf{x}^*$ 也是 $f(\mathbf{x})$ 的全局极小点。