作业7
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理论部分 (特殊的正交阵)
习题 1. 计算: \(\left[ \begin{array}{c c} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array} \right] ^ {n}\)，并指出 \(n < 0\) 时的含义。
解. 由于
\[
\left[ \begin{array}{c c} \cos k \phi & - \sin k \phi \\ \sin k \phi & \cos k \phi \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \cos (k + 1) \phi & - \sin (k + 1) \phi \\ \sin (k + 1) \phi & \cos (k + 1) \phi \end{array} \right]
\]
而
\[
\left[ \begin{array}{c c} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \cos 2 \phi & - \sin 2 \phi \\ \sin 2 \phi & \cos 2 \phi \end{array} \right]
\]
因此
\[
\left[ \begin{array}{c c} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array} \right] ^ {n} = \left[ \begin{array}{c c} \cos n \phi & - \sin n \phi \\ \sin n \phi & \cos n \phi \end{array} \right]
\]
当 \(n < 0\) 时, 对应的是旋转矩阵的逆变换，即顺时针旋转 \(n \phi\) 。
习题 2. Householder 变换可以在数值算法中构造正交基，如 Householder QR 分解能使线性方程组易于求解。从计算观点看，Householder变换可以在保持向量范数不变的情况下使向量的某些元素变为零，如使非零向量 \(x = [ x _ { 1 } , x _ { 2 } , . . . , x _ { n } ] ^ { \top }\) 变为标准向量 \(e _ { 1 } = [ 1 , 0 , . . . , 0 ] ^ { \top }\) 的某个常数倍。即:
定理. 设 \(0 \neq x \in R ^ { n }\) ，则可构造单位向量 \(w \in R ^ { n }\) ， \(\| w \| _ { 2 } = 1\) ，使得 \(H\) 满足 \(H x = \alpha e _ { 1 }\) ，其中 \(\alpha = \pm \| x \| _ { 2 }\)
试证明该定理。
提示:
\[
H x = \left(I - 2 w w ^ {\top}\right) x = x - 2 \left(w ^ {\top} x\right) w
\]
要使
\[
H x = \alpha e _ {1}
\]
则
\[
2 w ^ {\top} x w = x - \alpha e _ {1} \tag {1}
\]
两边取范数
\[
\left(2 w ^ {\top} x\right) \| w \| _ {2} = \left\| x - \alpha e _ {1} \right\| _ {2} \tag {2}
\]
(1)(2) 相除，有
\[
w = \frac {x - \alpha e _ {1}}{\| x - \alpha e _ {1} \| _ {2}} \tag {3}
\]
故将 (3) 代回 (1) ，证明当 \(\alpha = \pm \| x \| _ { 2 }\) 时 (1) 成立即可
图 1: 合适的 \(H ( w )\) 使得 \(H x = \alpha e _ { 1 }\)
解.
\[
\begin{array}{l} 2 w ^ {\top} x w \\ = \frac {2}{\left\| x - \alpha e _ {1} \right\| _ {2} ^ {2}} \left(x ^ {\top} - \alpha e _ {1} ^ {\top}\right) x \left(x - \alpha e _ {1}\right) \\ = \frac {2 x ^ {\top} x - 2 \alpha e _ {1} ^ {\top} x}{\| x - \alpha e _ {1} \| _ {2} ^ {2}} (x - \alpha e _ {1}) \\ = \frac {2 \| x \| _ {2} ^ {2} - 2 \alpha e _ {1} ^ {\top} x}{\| x \| _ {2} ^ {2} - 2 \alpha e _ {1} ^ {\top} x + \alpha^ {2}} (x - \alpha e _ {1}) \\ \stackrel {\| x \| _ {2} ^ {2} = \alpha^ {2}} {=} \frac {2 \alpha^ {2} - 2 \alpha e _ {1} ^ {\top} x}{2 \alpha^ {2} - 2 \alpha e _ {1} ^ {\top} x} (x - \alpha e _ {1}) \\ = x - \alpha e _ {1} \\ \end{array}
\]