2020级答案
《数据科学与工程数学基础》笔试试卷 2022.9
学院：数据科学与工程学院 考试形式：闭卷 所需时间：120分钟
考生姓名：_ 学号：_ 专业：__ 任课教师：黄定江
| 题目 |
一 |
二 |
三 |
四 |
五 |
六 |
七 |
八 |
总分 |
| 满分 |
14 |
12 |
13 |
13 |
13 |
12 |
12 |
11 |
100 |
| 得分 |
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| 阅卷人 |
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一、（14分）
已知矩阵
\[\boldsymbol{M} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
(1) 计算矩阵 \(\boldsymbol{M}\) 的 \(1\) 范数；
(2) 计算矩阵 \(\boldsymbol{M}\) 的 \(2\) 范数；
(3) 证明：对任意 \(\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}\)，由
\[\|\boldsymbol{A}\|_{m_\infty} := \max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}|a_{ij}|\]
定义的 \(\|\cdot\|_{m_\infty}\) 是 \(\mathbb{R}^{m\times n}\) 上的（广义）矩阵范数。
答案
（1）
\(\|\boldsymbol{M}\|_1=\max\{1+|-2|,3+1\}=4\) （3分）
（2）\(\boldsymbol{M}^\top \boldsymbol{M}=\begin{pmatrix}2&2\\2&4\end{pmatrix}\)
\(\lambda_{max}(\boldsymbol{M}^\top \boldsymbol{M})=14\)
\(\|\boldsymbol{M}\|_2=\sqrt{14}\) （4分）
（3）非负性：显然
\[\|\boldsymbol{A}\|_{m_\infty} := \max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}|a_{ij}| \geq 0\]
而且仅当 \(\boldsymbol{A}=0\) 时，\(\|\boldsymbol{A}\|_{m_\infty}=0\)。 （2分）
齐次性：
\[\|c \cdot \boldsymbol{A}\|_{m_\infty} := \max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}|c \cdot a_{ij}| = c \max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}|a_{ij}| = c\|\boldsymbol{A}\|_{m_\infty}\]
（2分）
三角不等式：考虑 \(\|\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}\|_{m_\infty}\)，因为
\[|a_{ij} + b_{ij}| \leq |a_{ij}| + |b_{ij}| \leq \max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}|a_{ij}| + \max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}|b_{ij}|\]
所以
\[\max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n} |a_{ij} + b_{ij}| \leq \max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}|a_{ij}| + \max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}|b_{ij}|\]
即 \(\|\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}\|_{m_\infty} \leq \|\boldsymbol{A}\|_{m_\infty} + \|\boldsymbol{B}\|_{m_\infty}\) （3分）
二、（12分）
已知矩阵
\[\boldsymbol{M} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]
(1) 求矩阵 \(\boldsymbol{M}\) 的零空间；
(2) 求向量 \(\boldsymbol{x}=(1,1,1)^{\top}\) 在矩阵 \(\boldsymbol{M}\) 的列空间上的正交投影；
(3) 利用Householder变换，将非零向量 \(\boldsymbol{x}=(1,1,1)^{\top}\) 变为标准向量 \(\boldsymbol{e}_1=(0,1,0)^{\top}\) 的 \(\sqrt{3}\) 倍，请写出这个Householder变换矩阵。
答案
（1）零空间为 \(span\{(1,1,-6)^T\}\) （3分）
（2）列空间为 \(span\{(1,2,4)^T,(-1,4,2)^T\}\)，若记
\[\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\]
故正交投影为 \(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}^\top \boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{A}^\top \boldsymbol{x} = (1/3,2/3,4/3)^\top\) （4分）
（3）
\[w=\frac{x-\alpha e_{1}}{\|x-\alpha e_{1}\|_{2}}\]
则，由 \(H = (I-2ww^{\top})\) 可得：
\[\boldsymbol{H} = \begin{pmatrix} \frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{3-\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{3-\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \end{pmatrix}\]
（5分）
三、（13分）
矩阵
\[\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & -2 \end{pmatrix}\]
(1) 计算矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的SVD分解；
(2) 假设 \(\boldsymbol{B}\) 是一个 \(n \times d\) 的矩阵，矩阵 \(\boldsymbol{M}\) 是 \((n+d) \times (n+d)\) 定义为
\[\boldsymbol{M}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^\top \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{pmatrix}\]
显然 \(\boldsymbol{M}\) 是对称矩阵。请证明矩阵 \(\boldsymbol{M}\) 的对角化会产生 \(\boldsymbol{B}\) 的奇异值分解所需要的所有信息。
答案
（1）易计算
\[\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\top=\begin{pmatrix} 17 & 8 \\ 8 & 17 \end{pmatrix}\]
求得其特征值为 \(25,9\)。对应的特征向量分别为 \((1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})^\top, (-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})^\top\)，因此，
\[\boldsymbol{U} =\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}\]
（4分）
由 \(\boldsymbol{A}^\top \boldsymbol{U}\) 与 \(\boldsymbol{V}\) 的关系可直接计算出
\[\boldsymbol{V} =\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/3\sqrt{2} & -2/3 \\ 1/\sqrt{2} & 1/3\sqrt{2} & 2/3 \\ 0 & -4/3\sqrt{2} & 1/3 \end{pmatrix}\]
（3分）
（2）\(\boldsymbol{B}\) 的奇异值分解所需要的信息为 \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{B}\) 的特征向量和 \(\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^T\) 的特征向量，以及对应的特征值。现假设对应于特征值为 \(\lambda^2(\lambda>0)\) 的 \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{B}\) 的特征向量为 \(\boldsymbol{x}_1(\|\boldsymbol{x}_1\|_2=1)\)，\(\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^T\) 的特征向量为 \(\boldsymbol{x}_2(\|\boldsymbol{x}_2\|_2=1)\)。因此，\(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_1 = \lambda^2 \boldsymbol{x}_1\) 以及 \(\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{x}_2 = \lambda^2 \boldsymbol{x}_2\)。故
\[(\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^T)\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_1 = \lambda^2 \boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_1\]
所以存在 \(k\) 使得 \(\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_1=k\boldsymbol{x}_2\)。由于 \(\|\boldsymbol{x}_1\|_2=\|\boldsymbol{x}_2\|_2=1\)，可得 \(k=\lambda\)，即 \(\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_1 = \lambda \boldsymbol{x}_2\)。同理有 \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{x}_2 = \lambda \boldsymbol{x}_1\)。 （3分）
下面证明 \(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1 \\ \boldsymbol{x}_2 \end{pmatrix}\) 是矩阵 \(\boldsymbol{M}\) 的特征值为 \(\lambda\) 的特征向量。易计算
\[\boldsymbol{M}\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol{B}^\top \\ \boldsymbol{B} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1 \\ \boldsymbol{x}_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{x}_2 \\ \boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_1 \end{pmatrix} =\lambda \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_1 \\ \boldsymbol{x}_2 \end{pmatrix}\]
因此，\(\boldsymbol{B}\) 的奇异值分解信息包含在 \(\boldsymbol{M}\) 的对角化过程中。 （3分）
四、（13分）
完成下列函数求导或梯度：
(1) 求激活函数 \(\sigma(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}\) 的导数；
(2) 求函数 \(f(\boldsymbol{X}) = \operatorname{Tr}(\boldsymbol{X}^{-1})\) 对 \(\boldsymbol{X}\) 的梯度，其中 \(\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{m\times n}\)。
(3) 若非奇异矩阵 \(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n \times 1}\)，\(\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n \times 1}\)，求函数 \(f(\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{x}\) 对 \(\boldsymbol{A}\) 的梯度。
答案
（1）\(\sigma'(x)=\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}=\sigma(x)(1-\sigma(x))\) （4分）
（2）因为
\[
\begin{aligned}
0=dI=d(\boldsymbol{X}\boldsymbol{X}^{-1})&= d\boldsymbol{X}\boldsymbol{X}^{-1}+\boldsymbol{X}d\boldsymbol{X}^{-1}\\
\boldsymbol{X}d\boldsymbol{X}^{-1}&=-d\boldsymbol{X}\boldsymbol{X}^{-1}\\
d\boldsymbol{X}^{-1}&=-\boldsymbol{X}^{-1}d\boldsymbol{X}\boldsymbol{X}^{-1}
\end{aligned}
\]
所以
\[
\begin{aligned}
d\operatorname{Tr}(\boldsymbol{X}^{-1}) &= \operatorname{Tr}(d\boldsymbol{X}^{-1})\\
&= \operatorname{Tr}(-\boldsymbol{X}^{-1}d\boldsymbol{X}\boldsymbol{X}^{-1})\\
&= \operatorname{Tr}(-(\boldsymbol{X}^{-1})^{2}d\boldsymbol{X})
\end{aligned}
\]
即
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \operatorname{Tr}(\boldsymbol{X}^{-1})}{\partial \boldsymbol{X}} = -(\boldsymbol{X}^{-T})^{2}
\end{aligned}
\]
（5分）
（3）
\[
\begin{aligned}
df(\boldsymbol{A}) &= \operatorname{Tr}(d\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{x})\\
&= \operatorname{Tr}(\boldsymbol{y}^\top d\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{x})\\
&= \operatorname{Tr}(-\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{A}^{-1}d\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{x})\\
&= \operatorname{Tr}(-\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{A}^{-1}d\boldsymbol{A})
\end{aligned}
\]
同理，求得其梯度。 （4分）
五、（13分）
计算和证明以下问题：
(1) 同时抛2颗骰子，事件 \(A,B,C\) 分别表示为
(A) 仅有一个骰子是3
(B) 至少一个骰子是4
(C) 骰子上点数总和为7
试计算事件 \(A,B,C\) 发生后所提供的信息量；
(2) 证明联合熵和条件熵有如下关系：
\[H(X,Y) = H(X) + H(Y\mid X)\]
答案
（1）\(H_A=-\log \dfrac{5}{18}\)，\(H_B=-\log \dfrac{1}{6}\)，\(H_C=-\log \dfrac{1}{2}\) （6分）
（2）
\[
\begin{aligned}
H(X,Y)&=\mathbb{E}(\log\frac{1}{p(xy)})\\
&=\mathbb{E}(\log\frac{1}{p(x)p(y|x)})\\
&=\mathbb{E}(\log\frac{1}{p(x)}+\log\frac{1}{p(y|x)})\\
&=\mathbb{E}(\log\frac{1}{p(x)})+\mathbb{E}(\log\frac{1}{p(y|x)})\\
&=H(X)+H(Y|X)
\end{aligned}
\]
（7分）
六、（12分）
求解以下问题：
(1) 假设总体 \(X \sim N\left(\mu, \sigma_0^{2}\right)\)（\(\sigma_0^{2}\) 已知），\(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) 为来自总体 \(X\) 的样本，由过去的经验和知识，我们可以确定 \(\mu\) 的取值比较集中在 \(\hat{\mu}\) 附近，离 \(\hat{\mu}\) 越远，\(\mu\) 取值的可能性越小，于是我们假定 \(\mu\) 的先验分布为正态分布
\[\pi(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hat{\sigma}^{2}}} \exp \left[-\frac{1}{2 \hat{\sigma}^{2}}\left(\mu-\hat{\mu}\right)^{2}\right] \quad (\hat{\mu}, \hat{\sigma} \text{已知})\]
求 \(\mu\) 的后验概率分布。
(2) 假设总体 \(X \sim P(\lambda)\)，\(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) 为来自总体 \(X\) 的样本，假定 \(\lambda\) 的先验分布为伽玛分布 \(\Gamma(\alpha, \beta)\)，求 \(\lambda\) 的后验期望估计（泊松分布的分布律：\(P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\)，泊松分布的期望为 \(\lambda\)；伽马分布的概率密度函数：\(f(x ; \alpha, \beta)=\frac{x^{\alpha-1} e^{-\beta x} \beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\)，伽马分布的期望为 \(\alpha/\beta\)）。
答案
（1）样本分布密度为
\[
q(\mathbf{x} \mid \mu)=\frac{1}{\sigma_0^{n}(2 \pi)^{n / 2}} \exp \left[-\frac{1}{2 \sigma_0^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}\right]
\]
于是后验密度函数为
\[
h(\mu \mid \mathbf{x})=\frac{q(\mathbf{x} \mid \mu) \cdot \pi(\mu)}{f_{\mathbf{x}}(\mathbf{x})}=\frac{q(\mathbf{x} \mid \mu) \cdot \pi(\mu)}{\int_{-\infty}^{+\infty} q(\mathbf{x} \mid \mu) \cdot \pi(\mu) d \mu}
\]
\[
\propto \exp \left[-\frac{1}{2 \sigma_0^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}\right] \cdot \exp \left[-\frac{1}{2 \hat{\sigma}^{2}}\left(\mu-\hat{\mu}\right)^{2}\right]
\]
化简得
\[
h(\mu \mid \mathbf{x}) \propto \exp \left[-\frac{(\mu-t)^{2}}{2 \eta^{2}}\right]
\]
其中 \(t=\dfrac{\frac{n}{\sigma_0^{2}} \bar{x}+\frac{1}{\sigma_{\mu}^{2}} \hat{\mu}}{\frac{n}{\sigma_0^{2}}+\frac{1}{\hat{\sigma}^{2}}}\)，
\(\eta^{2}=\dfrac{1}{\frac{n}{\sigma_0^{2}}+\frac{1}{\sigma_{\mu}^{2}}}\)，于是
\[
\mu \mid \mathbf{x} \sim N\left(\frac{\frac{n}{\sigma_0^{2}} \bar{x}+\frac{1}{\sigma_{\mu}^{2}} \hat{\mu}}{\frac{n}{\sigma_0^{2}}+\frac{1}{\hat{\sigma}^{2}}}, \frac{1}{\frac{n}{\sigma_0^{2}}+\frac{1}{\sigma_{\mu}^{2}}}\right)
\]
（6分）
（2）因为 \(\lambda\) 的先验密度函数 \(\pi(\lambda)\) 为伽玛分布 \(\Gamma(\alpha, \beta)\)，即
\[
\pi(\lambda) \propto \lambda^{\alpha-1} e^{-\beta \lambda}
\]
样本分布密度函数为：
\[
q(\mathbf{x} \mid \lambda)=\frac{\lambda^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}}{x_{1} ! x_{2} ! \ldots x_{n} !} e^{-n \lambda} \propto \lambda^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}} e^{-n \lambda}
\]
所以
\[
h(\lambda \mid \mathbf{x}) \propto \lambda^{\alpha+\sum_{i=1}^{n} x_{i}-1} e^{-(\beta+n) \lambda}
\]
即
\[
\lambda \mid \mathbf{x} \sim \Gamma\left(\alpha+\sum_{i=1}^{n} x_{i}, \beta+n\right)
\]
故 \(\lambda\) 的后验期望估计为
\[
\hat{\lambda}=\frac{\alpha+\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{\beta+n}=\frac{n}{\beta+n} \bar{x}+\frac{\beta}{\beta+n} \frac{\alpha}{\beta}
\]
它是样本均值 \(\bar{x}\) 和先验分布 \(\Gamma(\alpha, \beta)\) 的均值 \(\frac{\alpha}{\beta}\) 的加权平均。 （6分）
七、（12分）
求证下列与凸集或凸函数相关的问题：
(1) 证明：设 \(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}\) 是仿射变换，即 \(f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\)，\(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\)，\(\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{m}\)，则凸集在 \(f\) 下的像是凸集：
\[S \subseteq \mathbb{R}^{n} \text{ 为凸集} \Rightarrow f(S) \stackrel{\text{def}}{=}\{f(\boldsymbol{x}) \mid \boldsymbol{x} \in S\} \text{ 为凸集}\]
(2) 判定函数 \(f(x)=\max(\|\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\|_2,\|\boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{x}\|_1)\)，\(\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{m\times n}, \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^{n}, \boldsymbol{b}\in \mathbb{R}^m\) 是否为凸函数，并说明理由。
答案
（1）令 \(\boldsymbol{y}_1, \boldsymbol{y}_2\) 表示在像集合中的任意两个点，它们的原象分别为 \(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2\)。因此，
\(\boldsymbol{y}_1=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{b}\)
\(\boldsymbol{y}_2=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_2+\boldsymbol{b}\)
因此，有
\[(1-\lambda)\boldsymbol{y}_1+\lambda\boldsymbol{y}_2=\boldsymbol{A}((1-\lambda)\boldsymbol{x}_1 + \lambda \boldsymbol{x}_2)+\boldsymbol{b}\]
故得证。 （6分）
（2）由仿射函数的任意范数为凸函数可知 \(\|\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\|_2\) 为凸函数，另外 \(\|\boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{x}\|_1\) 为欧几里得范数的平方，显然为凸函数。根据逐点取最大值具有保凸性，可知 \(f(x)\) 是凸函数。 （6分）
八、（11分）
考虑优化问题
\[\min_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{W} \boldsymbol{x}\]
其中 \(\boldsymbol{W} \in S_+^{n}\) 是对称半正定矩阵。
(1) 求出在任意点 \(\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_n)^\top\) 处沿负梯度方向迭代的最佳步长 \(\alpha\)。
(2) 若对上述优化问题增加约束条件
\[x_{i}^{2}=1, \quad i=1, \cdots, n\]
请写出此时约束优化问题的拉格朗日函数 \(L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\lambda})\)，并计算出约束优化问题的拉格朗日对偶函数。
答案
（1）可求得 \(f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{W} \boldsymbol{x}\) 的梯度为 \(2\boldsymbol{W}\boldsymbol{x}\)。因此，为寻求得最佳步长，需求解
\[
\min_{\boldsymbol{x}} (\boldsymbol{x} - 2\alpha \boldsymbol{W}\boldsymbol{x})^{\mathrm{T}} \boldsymbol{W}(\boldsymbol{x} - 2\alpha \boldsymbol{W}\boldsymbol{x})
\]
（2分）
求极值可得：
\[\alpha = \frac{\boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{W}^2 \boldsymbol{x}}{2\boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{W}^3 \boldsymbol{x}}\]
（3分）
（2）若增加约束条件，可得Lagrange函数为
\[
L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\nu})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{W} \boldsymbol{x}+\sum_{i=1}^n \nu_i\left(x_i^2-1\right)
\]
\[
=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{W}+\operatorname{diag}(\boldsymbol{\nu})) \boldsymbol{x}-\mathbf{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\nu}
\]
（3分）
对 \(\boldsymbol{x}\) 求极小得到Lagrange对偶函数
\[
\begin{aligned}
g(\boldsymbol{\nu}) &=\inf _{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{W}+\operatorname{diag}(\boldsymbol{\nu})) \boldsymbol{x}-\mathbf{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\nu} \\
&= \begin{cases}-\mathbf{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\nu} & \boldsymbol{W}+\operatorname{diag}(\boldsymbol{\nu}) \succeq \mathbf{0} \\
-\infty & \text{其他情况}\end{cases}
\end{aligned}
\]
（3分）