作业5¶

提交截至时间：2022/03/18 下周五 20:00（晚上）

理论部分(范数与二次型补充题)¶

习题 1. 请证明：对任意 $ { A } \in \mathbb { R } ^ { m \times n }$ ，由

\[ \| \boldsymbol {A}\|_{m_{\infty}}:= \max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}|a_{ij}| \]

定义的 $\| \cdot \| _ { m _ { \infty } }$ 是 $\mathbb { R } ^ { m \times n }$ 上的（广义）矩阵范数。

解. 非负性：显然

\[ \| \boldsymbol {A}\|_{m_{\infty}}:= \max_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}|a_{ij}|\geq 0, \]

而且仅当 $A = 0$ 时， $\| A \| _ { m _ { \infty } } = 0$ .

齐次性： $$ \left| c \cdot \boldsymbol {A} \right| _ {m _ {\infty}} := \max _ {1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} | c \cdot a _ {i j} | = c \max _ {1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} | a _ {i j} | = c | \boldsymbol {A} | _ {m _ {\infty}} $$

三角不等式：考虑 $\| A + B \| _ { m _ { \infty } }$ ，因为

\[ \left| a _ {i j} + b _ {i j} \right| \leq \left| a _ {i j} \right| + \left| b _ {i j} \right| \leq \max _ {1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} \left| a _ {i j} \right| + \max _ {1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} \left| b _ {i j} \right| \]

所以

\[ \max _ {1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} | a _ {i j} + b _ {i j} | \leq \max _ {1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} | a _ {i j} | + \max _ {1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} | b _ {i j} | \]

即 $\left\| A + B \right\| _ { m _ { \infty } } \leq \left\| A \right\| _ { m _ { \infty } } + \left\| B \right\| _ { m _ { \infty } }$

习题 2. 求下面矩阵的 1-范数、2-范数和无穷范数：

\[ A _ {1} = \left( \begin{array}{c c} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right), A _ {2} = \left( \begin{array}{c c} - 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} \right). \]

解. $A _ { 1 } ^ { T } A _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l l } { 2 } & { 2 } \\ { 2 } & { 4 } \end{array} \right) }$

\[ \lambda_ {m a x} \left(A _ {1} ^ {T} A _ {1}\right) = 3 + \sqrt {5} \]

\[ \left\| A _ {1} \right\| _ {1} = 2, \left\| A _ {1} \right\| _ {2} = \sqrt {3 + \sqrt {5}}, \left\| A _ {1} \right\| _ {\infty} = 3 \]

\[ A _ {2} ^ {T} A _ {2} = \left( \begin{array}{c c} 2 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \]

\[ \left\| A _ {2} \right\| _ {1} = 2, \left\| A _ {2} \right\| _ {2} = \sqrt {3 + \sqrt {5}}, \left\| A _ {2} \right\| _ {\infty} = 3 \]

习题 3. 阅读完以下补充材料即可：

将一个带有交叉项的二次型转变成没有交叉项的二次型等同于将对称矩阵合同变换为一个对角矩阵。它的几何意义，可以看作是将二次方程所对应的几何图形标准化的过程。例如：在平面上，即椭圆、抛物线和双曲线等二次曲线的标准化过程；在空间上，即二次曲面的标准化过程。下面通过主轴定理及其几何意义窥见一斑。

\[ \frac {x _ {1} ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {x _ {2} ^ {2}}{b ^ {2}} = 1, a > b > 0 \]

\[ \frac {x _ {1} ^ {2}}{a ^ {2}} - \frac {x _ {2} ^ {2}}{b ^ {2}} = 1, a > b > 0 \]

图 1: 对角矩阵时对应标准二次曲线

主轴定理

定理 0.0.1. 令 $A$ 是任意一个 $n \times n$ 的对称矩阵，那么存在一个正交变换 $x = P y$ 使得二次型 $x ^ { T } A x$ 转变为 $y ^ { T } D y$ ，其中 $D = P ^ { T } A P$ 是对角矩阵。

定理中 $P$ 的列称为二次型 $x ^ { T } A x$ 的主轴。向量 $y$ 是向量 $x$ 在这些主轴下的坐标。

主轴定理的几何意义

假设 $Q ( x ) = x ^ { T } A x$ ，其中 $\boldsymbol { x } \in \mathbb { R } ^ { 2 }$ ， $A$ 是 $2 \times 2$ 可逆对称矩阵， $c$ 是常数。可以证明 $\mathbb { R } ^ { 2 }$ 中所有满足 $x ^ { T } A x = c$ 的 $x$ 的集合可能为椭圆（圆）、双曲线、两相交直线、点或者空集。如果 $A$ 是对角矩阵，那么二次曲线将是标准的二次曲线，如图1所示。如果 $A$ 不是对角矩阵，那么二次曲线将是非标准的二次曲线。图2是二次方程为 $5 x _ { 1 } ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } + 5 x _ { 2 } ^ { 2 } = 4 8$ 的椭圆曲线。显然，它不是一个标准的二次曲线。下面，我们通过寻找该椭圆的主轴将其转化为标准形式，从几何的角度验证主轴定理。

易求得该椭圆方程对应二次型的矩阵表示为

\[ A = \left( \begin{array}{c c} 5 & - 2 \\ - 2 & 5 \end{array} \right). \]

可计算出其特征值为3 和7，对应的特征向量分别为

\[ v _ {1} = \left( \begin{array}{c} 1 / \sqrt {2} \\ 1 / \sqrt {2} \end{array} \right), v _ {2} = \left( \begin{array}{c} - 1 / \sqrt {2} \\ 1 / \sqrt {2} \end{array} \right). \]

图 2: 非对角矩阵对应非标准二次曲线

令 $P = \left[ v _ { 1 } v _ { 2 } \right]$ ，则从图形中可以看出 $P$ 的列向量，正好对应该椭圆主轴所在的方向。现将 $x = P y$ 代入二次型，可得

\[ y ^ {T} D y = 3 y _ {1} ^ {2} + 7 y _ {2} ^ {2}. \]

即可得到椭圆的标准方程形式。

实践部分¶

习题 4. 复现 Lec6 例 13 的结果。其中负例为 $( 1.5 , 2 ) , ( 1.7 , 1.5 ) , ( 2 , 2 ) , ( 1.5 , 2.5 )$ ，正例为$( 1 , 2 ) , ( 0.3 , 0.3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 1 , 1 )$ 。分别采用欧式距离和曼哈顿距离两种距离度量方式。

解. 略