作业2

提交截至时间：2022/03/04 本周五 20:00（晚上）

理论部分

习题 1. 设 \(H = S p a n \{ \epsilon _ { 1 } , \epsilon _ { 2 } , \epsilon _ { 3 } \}\) ， \(K = S p a n \{ \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \beta _ { 3 } \}\) ，其中

\[ \epsilon_ {1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array} \right), \epsilon_ {2} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array} \right), \epsilon_ {3} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \\ - 4 \end{array} \right), \]

\[ \beta_ {1} = \left( \begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array} \right), \beta_ {2} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 2 \\ - 6 \end{array} \right), \beta_ {3} = \left( \begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 6 \\ - 2 \end{array} \right). \]

请求出 \(H\) , \(K\) 和 \(H + K\) 的一组基。

解. 由 \(\epsilon _ { 3 } = 2 \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 }\) ，易知 \(H\) 的一组基为 \(\left\{ \epsilon _ { 1 } , \ \epsilon _ { 2 } \right\}\) 。因为 \(\beta _ { 1 }\) , \(\beta _ { 2 }\) , \(\beta _ { 3 }\) 是线性无关的，所以 \(K\) 的一组基为 \(\{ \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \beta _ { 3 } \}\) 。令 \(A = [ \epsilon _ { 1 } , \epsilon _ { 2 } , \epsilon _ { 3 } , \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \beta _ { 3 } ]\) ，依据 \(r a n k ( A ) = 4\) ，可知 \(H + K\) 即为 \(\mathbb { R } ^ { 4 }\) 。因此， \(\mathbb { R } ^ { 4 }\) 下的标准基即为 \(H + K\) 的一组基。

习题 2. 考虑这样的多项式 \(\mathbf { p } _ { 1 } ( t ) = 1 + t\) , \({ \bf p } _ { 2 } ( t ) = 1 - t\) 以及 \({ \bf p } _ { 3 } ( t ) = 2 ( t \in \mathbb { R } )\) . 判定 \({ \bf p } _ { 1 }\) , \({ \bf p } _ { 2 }\) 和 \({ \bf p } _ { 3 }\) 之间的线性相关性，并求出 \(S p a n \{ \mathbf { p } _ { 1 } , \ \mathbf { p } _ { 2 } , \ \mathbf { p } _ { 3 } \}\) 的一组基。

解. 因为 \({ \bf p } _ { 3 } ( t ) = { \bf p } _ { 1 } ( t ) + { \bf p } _ { 2 } ( t )\) ，因此这三个多项式是线性相关的。现考虑 \({ \bf p } _ { 1 }\) 和 \({ \bf p } _ { 2 }\) 的相关性：假设存在 \(k _ { 1 }\) , \(k _ { 2 }\) 使得

\[ k _ {1} \mathbf {p} _ {1} (t) + k _ {2} \mathbf {p} _ {2} (t) = 0 \]

对所有 \(t \in \mathbb { R }\) 成立。将 \(\mathbf { p } _ { 1 } ( t ) = 1 + t\) , \({ \bf p } _ { 2 } ( t ) = 1 - t\) 代入上式，可得 \(k _ { 1 } = k _ { 2 } = 0\) 。因此，\(\{ { \bf p } _ { 1 } ( t ) , { \bf p } _ { 2 } ( t ) \}\) 为它的一组基。

习题 3. 证明 \(\{t, sin t, cos 2t, sin t cos t\}\) 是定义在 \(\mathbb { R }\) 上的线性无关函数集。

解. 假设存在 \(k _ { i }\) , \(i \in \{ 1 , \cdots , 4 \}\) 使得

\[ k _ {1} t + k _ {2} \sin t + k _ {3} \cos 2 t + k _ {4} \sin t \cos t = 0 \]

对所有 \(t \in \mathbb { R }\) 成立。分别取 \(t = 0\) , \(2 \pi\) , \(2 \pi + \pi / 2\) , \(\pi / 4\) ，可得

\[ \left\{ \begin{array}{r l r l} & k _ {3} & = 0 \\ 2 \pi k _ {1} & + k _ {3} & = 0 \\ (2 \pi + \pi / 2) k _ {1} + k _ {2} & - k _ {3} & = 0 \\ (\pi / 4) k _ {1} & + (\sqrt {2} / 2) k _ {2} & + k _ {4} = 0 \end{array} \right. \tag {1} \]

可以推出只有当 \(k _ { 1 } = k _ { 2 } = k _ { 3 } = k _ { 4 } = 0\) 成立时，上述方程组才成立。从而，可得它们是线性无关函数集。