2026春《概率论与数理统计》期末试卷

2025～2026 学年第二学期《概率论与数理统计》期末考试

1　期末考试试题（满分 100 分，共 10 题）

姓名____　学号______

(题1) 口袋中有一个球，只可能是白球或是黑球，但事先不知道。现再往口袋中放入一个白球，然后从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球。试求口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？（10 分） (题2) 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为 \(p\)。若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效。问 \(p\) 取何值时，5 个元件的系统比 3 个元件的系统更有可能有效？（10 分） (题3) 设随机变量 \(X\) 服从区间 \((1,2)\) 上的均匀分布，试求 \(Y=e^{2X}\) 的密度函数。（10 分） (题4) 竞争型指数分布：设两盏灯泡的寿命 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，且分别服从参数为 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 的指数分布。设首先用坏的时间是 \(Z=\min\{X,Y\}\)，试证明：\(Z\) 也是服从指数分布，参数为 \(\lambda+\mu\)。（10 分）注：参数为 \(\lambda\) 的指数分布的分布函数是：

\[ F(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 1-e^{-\lambda x}, & x\ge 0,\\ 0, & x<0. \end{array} \right. \]

(题5) 把一颗骰子独立地掷 \(n\) 次，求 1 点出现次数与 6 点出现次数的协方差及相关系数。（10 分）

(题6) 设随机变量序列 \(\{X_n\}\) 相互独立，且具有相同的分布：

\[ P(X_n=1)=p;\quad P(X_n=-1)=1-p,\quad (0<p<1) \]

定义：\(Y_n=X_1X_2\cdots X_n\)（即前 \(n\) 个 \(X_i\) 的乘积）

（1）求 \(Y_n\) 的分布律（用 \(n\) 和 \(p\) 表示）；（2 分）

（2）判断 \(Y_n\) 是否依分布收敛？如果收敛，指出极限分布；（4 分）

（3）判断 \(Y_n\) 是否依概率收敛？（4 分）

(题7) 某奶茶店准备了 450 克珍珠，其中每杯珍珠奶茶需添加 5 克珍珠。某公司订购了 160 杯奶茶。设随机变量 \(X\) 表示 160 杯奶茶中实际需要添加珍珠的杯数。假设每杯奶茶独立地以概率 \(p\) 被顾客要求加珍珠。若每位顾客点珍珠奶茶的概率为 \(p=0.5\)，试求：

（1）\(X\) 服从的分布及其参数；（2 分）

（2）二项分布精确表达式计算缺货概率；（4 分）

（3）正态分布近似（带连续性修正）计算缺货概率（正态近似只需写出标准化后的 \(Z\) 值以及查标准正态分布表的公式，不需查表计算具体数值）。（4 分）

(题8) 设总体 \(X\) 的概率密度函数为：

\[ f(x;\theta)=\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}\quad (x>0), \]

其中 \(\theta>0\) 为未知参数。设 \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) 为来自该总体的简单随机样本，样本观测值为 \(x_1,x_2,\ldots,x_n\)。

（1）参数 \(\theta\) 的矩估计量（MME）和参数 \(\theta\) 的最大似然估计量（MLE）；（6 分）

（2）对 MME 和 MLE 进行统计性质评估，重点讨论无偏性。（4 分）

(题9) 总体 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，试求在以下两种情况下，样本容量 \(n\) 取多大时才能保证 \(\mu\) 的置信水平为 95% 的置信区间的长度不大于 \(k\)：

（1）\(\sigma^2\) 已知；（5 分）

（2）\(\sigma^2\) 未知。（5 分）

注：给出 \(n\) 的表达式即可，不用查表。

(题10) 下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（单位:h）的观测值

型号 A：5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9

型号 B：3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6

设两样本相互独立，且分别来自正态总体 \(N(\mu,\sigma_1^2)\) 和 \(N(\mu,\sigma_2^2)\)，\(\sigma_1^2=\sigma_2^2\) 且未知。试问能否认为型号 A 的计算器平均使用时间明显比型号 B 来得长（取 \(\alpha=0.01\)）？（10 分）

注：

\[ t_{0.99}(21)=2.5176,\quad t_{0.99}(22)=2.5083,\quad t_{0.99}(23)=2.4999, \]

\[ t_{0.995}(21)=2.8314,\quad t_{0.995}(22)=2.8188,\quad t_{0.995}(23)=2.8073. \]

2　完整参考答案

第 1 题

设 \(A_0\)：原球为黑球，\(A_1\)：原球为白球，\(B\)：取出白球。\(P(A_0)=P(A_1)=\frac12\)，\(P(B|A_0)=\frac12\)，\(P(B|A_1)=1\)。全概率：

\[ P(B)=P(A_0)P(B|A_0)+P(A_1)P(B|A_1) =\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot1=\frac34 \]

贝叶斯：

\[ P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} =\frac{\frac12}{\frac34} =\frac23 \]

答案：\(\frac23\)

第 2 题

\(X_3\sim B(3,p)\)，有效：\(X_3\ge 2\)；\(X_5\sim B(5,p)\)，有效：\(X_5\ge 3\)。

\[ P(X_3\ge 2)=3p^2-2p^3,\quad P(X_5\ge 3)=6p^5-15p^4+10p^3 \]

\[ 6p^5-15p^4+10p^3>3p^2-2p^3 \Rightarrow 3(p-1)^2(2p-1)>0 \]

因 \((p-1)^2\ge 0\)，故 \(2p-1>0\)，即 \(p>\frac12\)。

第 3 题

\[ X\sim U(1,2),\quad f_X(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 1, & 1<x<2\\ 0, & \text{其他} \end{array} \right. \]

\(Y=e^{2X}\) 单调增，反函数 \(x=\frac{1}{2}\ln y\)，

\[ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{2y},\quad y\in(e^2,e^4)。 \]

\[ f_Y(y)=f_X\left(\frac{1}{2}\ln y\right) \left|\frac{dx}{dy}\right| = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2y}, & e^2<y<e^4\\ 0, & \text{其他} \end{array} \right. \]

第 4 题

\(X,Y\) 独立指数分布，\(Z=\min\{X,Y\}\)。若 \(z<0\)，\(F_Z(z)=0\)；若 \(z\ge 0\)：

\[ F_Z(z)=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z) \]

\[ =1-e^{-\lambda z}e^{-\mu z}=1-e^{-(\lambda+\mu)z} \]

\[ F_Z(z)= \left\{ \begin{array}{ll} 1-e^{-(\lambda+\mu)z}, & z\ge 0 \\ 0, & z<0 \end{array} \right. \]

符合参数 \(\lambda+\mu\) 的指数分布，得证。

第 5 题

设 \(X\) 为 1 点次数，\(Y\) 为 6 点次数，单次示性变量 \(\xi,\eta\)。\(E\xi=E\eta=\frac16\)，\(E\xi\eta=0\)，

\[ \operatorname{Cov}(\xi,\eta)=-\frac{1}{36}. \]

\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^n \operatorname{Cov}(\xi_i,\eta_i)=-\frac{n}{36} \]

\[ DX=DY=\frac{5n}{36},\quad \rho_{XY}=\frac{-n/36}{\sqrt{5n/36}\cdot\sqrt{5n/36}}=-\frac15 \]

结果：

\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=-\frac{n}{36},\quad \rho_{XY}=-\frac15 \]

第 6 题

\[ Y_n=\prod_{i=1}^n X_i, \]

仅取 \(1,-1\)。

（1）分布律：

\[ \begin{cases} P(Y_n=1)=\frac12[1+(2p-1)^n]\ P(Y_n=-1)=\frac12[1-(2p-1)^n] \end{cases} \]

（2）依分布收敛：\(0<p<1\) 时 \(|2p-1|<1\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}(2p-1)^n=0\)，\(P(Y_n=1)\to\frac12\)，\(P(Y_n=-1)\to\frac12\)。极限分布：两点等概分布 \(P(Y=1)=P(Y=-1)=\frac12\)。

（3）依概率收敛：不存在常数 \(c\) 使得 \(P(|Y_n-c|>\varepsilon)\to0\)，故不依概率收敛。

第 7 题

最多支持加珍珠杯数：\(450/5=90\)，缺货 \(\Longleftrightarrow X>90\)。

（1）\(X\sim B(n=160,p=0.5)\)。

（2）精确缺货概率：

\[ P(X>90)=\sum_{k=91}^{160}\binom{160}{k}\cdot 0.5^{160} \]

（3）正态近似，连续性修正 \(X>90.5\)：

\[ \mu=np=80,\quad \sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{40},\quad Z=\frac{90.5-80}{\sqrt{40}} \]

\[ P(X>90.5)\approx 1-\Phi\left(\frac{90.5-80}{\sqrt{40}}\right) \]

第 8 题

\[ f(x;\theta)=\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta},\quad x>0,\theta>0. \]

（1）矩估计：一阶原点矩 \(EX=\theta\)，样本一阶矩 \(\bar X=\frac1n\sum X_i\)，\(\hat\theta_{\mathrm{MME}}=\bar X\)。似然函数

\[ L(\theta)=\theta^{-n}\exp\left(-\frac1\theta\sum x_i\right), \]

对数似然求导得 \(\hat\theta_{\mathrm{MLE}}=\bar X\)。

（2）无偏性：

\[ E(\hat\theta_{\mathrm{MME}})=E(\bar X)=\theta,\quad E(\hat\theta_{\mathrm{MLE}})=E(\bar X)=\theta \]

矩估计与最大似然估计均为 \(\theta\) 的无偏估计。

第 9 题

置信水平 \(0.95\)，\(z_{0.025}=1.96\)。

（1）\(\sigma^2\) 已知，\(Z\) 区间长度

\[ L=\frac{2z_{0.025}\sigma}{\sqrt n}\le k: \]

\[ n\ge \left(\frac{2\cdot1.96\cdot\sigma}{k}\right)^2 \]

（2）\(\sigma^2\) 未知，\(t\) 区间长度

\[ L=\frac{2t_{0.025}(n-1)S}{\sqrt n}\le k: \]

\[ n\ge \left(\frac{2t_{0.025}(n-1)\cdot S}{k}\right)^2 \]

第 10 题

\(n_1=11,n_2=12\)，\(H_0:\mu_A\le \mu_B\)，\(H_1:\mu_A>\mu_B\)，\(\alpha=0.01\)，方差齐性未知相等。

\[ \bar x_A=5.5,\quad \bar x_B=\frac{52.4}{12}\approx 4.3667 \]

合并方差

\[ s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}, \]

检验统计量：

\[ t=\frac{\bar x_A-\bar x_B}{s_p\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}}\approx 5.456 \]

自由度 \(df=11+12-2=21\)，单侧临界值 \(t_{0.99}(21)=2.5176\)。\(t=5.456>2.5176\)，拒绝原假设。结论：在 \(\alpha=0.01\) 下，有充分证据认为型号 A 平均使用时间显著长于型号 B。