2026春《概率论与数理统计》测验2

出题人：钱卫宁

考试时间：2026年5月7日 下午2点50~3点50

范围：考试范围从“数学期望”到“条件分布与条件期望”。可以带计算器。

1. 某人参加“答题秀”，一共有问题 1 和问题 2 两个问题，他可以自行决定回答这两个问题的顺序。如果他先回答问题 \(i(i=1,2)\)，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题。如果他有 60% 的把握答对问题 1，而答对问题 1 将获得 200 元奖励，有 80% 的把握答对问题 2，而答对问题 2 将获得 100 元奖励。请问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大？请给出具体的计算过程。
2. 设 \(X\) 为非负随机变量，\(a>0\)。若 \(E(e^{aX})\) 存在，证明：对任意的 \(x>0\)，有 \(P(X\geq x)\leq \dfrac{E(e^{aX})}{e^{ax}}\)。（提示：\(y=e^{at}\) 在 \(a>0\) 时严格单调增，可将事件 \(\{X\geq x\}\) 转化为指数形式的等价事件）。
3. 设圆的直径服从区间 \((0,I)\) 上的均匀分布，求圆的面积的密度函数。
4. 在长为 \(a\) 的线段的中点的两边随机地各选取一点，求两点间的距离小于 \(a/3\) 的概率。
5. 系统由 \(n\) 个部件组成。记 \(X_i\) 为第 \(i\) 个部件能持续工作的时间，如果 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 独立同分布，且 \(X_i\sim Exp(\lambda)\)，如果有一个部件停止工作，系统就不工作了。请试求系统持续工作的平均时间。
6. 设随机变量 \(X\) 服从 \((1,2)\) 上的均匀分布，在 \(X=x\) 的条件下，随机变量 \(Y\) 的条件分布是参数为 \(x\) 的指数分布，证明 \(XY\) 服从参数为 1 的指数分布。