2026春《概率论与数理统计》测验3¶
出题人：王龑
考试时间：2026 年 5 月 28 日，下午 2 点 50~3 点 50
范围：
第 12 讲 随机变量序列的收敛性 第 13 讲 大数定律 第 14 讲 中心极限定理 第 15 讲 总体与样本 第 16 讲：经验分布函数、统计量及其分布 可以带计算器，请做好准备。
题目 1（15 分）
设随机变量序列 \(\{X_n\}\) 相互独立，且 \(P(X_n=1)=\frac{2}{3}\)，\(P(X_n=-1)=\frac{1}{3}\)
定义：\(Y_n=X_1X_2\cdots X_n\)
（1）求 \(P(Y_n=1)\) 与 \(P(Y_n=-1)\)；（8 分）；（2）判断 \(Y_n\) 是否依分布收敛？（7 分）
题目 2（15 分）
某高校希望估计“每周运动不少于 3 次”的学生比例 \(p\)。随机调查 \(n\) 名学生，
用样本比例 \(M_n=\frac{S_n}{n}\)，估计 \(p\)。已知：\(P(|M_n-p|\geq\varepsilon)\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}\)
（1）若希望误差 \(\varepsilon\) 缩小为原来的 \(0.5\)，样本量需扩大为原来的多少倍？（7 分）
（2）若希望概率上界缩小为原来的 \(0.2\)，样本量需扩大为原来的多少倍？（8 分）
题目 3（25 分）
某餐厅一天预计接待 144 位顾客。已知每位顾客点甜品的概率为 \(0.25\)，且彼此独立。每份甜品需要使用 3 个鸡蛋。
问：至少应准备多少个鸡蛋，才能有约 \(95\%\) 的把握不缺货？
题目 4（20 分）
从某总体中抽取容量为 5 的样本：\(4,1,8,3,4\)。求：
（1）经验分布函数 \(F_5(x)\)（8 分）
（2）样本均值 \(\bar X\)（4 分）
（3）修正样本方差 \(S^2\)。（8 分）
题目 5（25 分）
设 \(\bar X_1,\bar X_2\) 是来自总体 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的两个独立样本均值，且两个样本容量均为 \(n\)。
求最小正整数 \(n\)，使
附：考试中可直接使用的结果
设 \(Z\sim N(0,1)\)，则：